Remplacer \(x\) et \(y\) en utilisant les relations de passage On cherche les couples \((r,\theta)\) qui vérifient : $$2r\cos\theta r\sin\theta((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2)=(r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2$$
Simplifier en utilisant des identités trigonométriques$$\implies r^4\sin(2\theta)=r^2\cos(2\theta)$$
Résoudre l'équation en utilisant la définition de la tangente $$\begin{align}\implies&r^2\tan(2\theta)=1\\ \implies&\tan(2\theta)=\frac1{r^2}\\ \implies&\theta=\frac12\arctan\left(\frac1{r^2}\right)\end{align}$$
(Relation de passage, Théorème de Pythagore, Formule générale de l'angle double, Fonction tangente, Arctangente)
Passer en coordonnées polaires$$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac x{x^2+y^2}=\displaystyle\lim_{r\to0}\frac{r\cos\theta}{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}$$
$$\lim_{r\to0^+}f(r,0)=\lim_{r\to0^+}\frac r{r^2+0^2}=\lim_{r\to0^+}\frac1r=+\infty$$$\(\lim_{r\to0^+}f(0,r)=\lim_{r\to0^+}\frac0{r^2}=0\)$ Il y a deux limites différentes, donc \(f\) n'admet pas de limite en \((0,0)\)
(Limite le long d'un chemin)